Question

14．如图，在四边形ABCD中，∠B=$\frac{π}{3}$，∠BCA=2∠CAD，CD=2$\sqrt{2}$，AD=AC=4，则AB=$\sqrt{21}$．

Answer 1

分析 设∠CAD=θ，则∠BCA=2θ，根据余弦定理求出cosθ，再根据同角的三角函数的关系和二倍角公式求出sin2θ，再由正弦定理即可求出．

解答 解：设∠CAD=θ，则∠BCA=2θ
在△ADC中，由余弦定理可得cosθ=$\frac{A{D}^{2}+A{C}^{2}-C{D}^{2}}{2AD•AC}$=$\frac{16+16-8}{2×4×4}$=$\frac{3}{4}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴sin2θ=2sinθcosθ=2×$\frac{\sqrt{7}}{4}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，
在△ABC中，由正弦定理可得$\frac{AC}{sinB}$=$\frac{AB}{sin2θ}$，
∴AB=$\frac{4×\frac{3\sqrt{7}}{8}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{21}$，
故答案为：$\sqrt{21}$．

点评 本题考查了正弦定理和余弦定理和同角的三角函数的关系和二倍角公式，考查了学生的运算能力，属于中档题