Question

4．如图（1），五边形ABCDE中，ED=EA，AB∥CD，CD=2AB，∠EDC=150°．如图（2），将△EAD沿AD折到
△PAD的位置，得到四棱锥P-ABCD．点M为线段PC的中点，且BM⊥平面PCD．

（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若四棱锥P-ABCD的体积为2$\sqrt{3}$，求四面体BCDM的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD的中点N，连结AN、MN，推导出四边形ABMN是平行四边形，从而AN∥BM，推导出AN⊥平面PCD，从而AN⊥PD，AN⊥CD，再求出CD⊥AD，从而CD⊥平面PAD，由此能证明平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅱ）设四棱锥P-ABCD的高为h，四边形ABCD的面积为S，由${S}_{△BCD}=\frac{2}{3}S$，四面体BCDM的底面BCD上的高为$\frac{h}{2}$，能求出四面体BCDM的体积．

解答 证明：（Ⅰ）取PD的中点N，连结AN、MN，
则MN∥CD，且MN=$\frac{1}{2}$CD，
又AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}$CD，
∴MN∥AB，MN=AB，
∴四边形ABMN是平行四边形，
∴AN∥BM，
又BM⊥面PCD，∴AN⊥平面PCD，
∴AN⊥PD，AN⊥CD，
由ED=EA，即PD=PA，及N为PD的中点，
得△PAD为等边三角形，∴∠PDA=60°，
又∠EDC=150°，∴∠CDA=90°，
∴CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，
又∵CD?平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD．
解：（Ⅱ）设四棱锥P-ABCD的高为h，四边形ABCD的面积为S，
则${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}hs=2\sqrt{3}$，
又${S}_{△BCD}=\frac{2}{3}S$，四面体BCDM的底面BCD上的高为$\frac{h}{2}$，
∴四面体BCDM的体积：
V_BCDM=$\frac{1}{3}×\frac{h}{2}×{S}_{△BCD}$=$\frac{1}{6}×\frac{2}{3}sh$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、是中档题．