Question

某一物体在某种介质中作直线运动，已知t时刻，它的速度为v，位移为s，且它在该介质中所受到的阻力F与速度v的平方成正比，比例系数为k，若已知s=

1

2

t²，则该物体由位移s=0移动到位移s=a时克服阻力所作的功为

 

．（注：变力F做功W=∫

s2 s1

F（s）ds，结果用k，a表示）

Answer 1

考点：定积分的简单应用

专题：导数的综合应用

分析：将变力F用s表示出来，根据变力F做功的公式进行计算即可得到结论．

解答： 解：∵在该介质中所受到的阻力F与速度v的平方成正比，比例系数为k，
∴F=kv²，
∵t时刻，它的速度为v，位移为s，
∴s=

1

2

t²，
s′（t）=t，即v=s′（t）=t，
∴s=

1

2

t²=

1

2

v²，
即v²=2s，
即F=kv²=2ks，
则由W=∫

s2 s1

F（s）ds得W=∫

a 0

2ksds=ks²|

a 0

=ka²，
故答案为：ka²

点评：本题主要考查积分的物理意义，要求熟练掌握积分的公式．