Question

已知{a_n}是等差数列，a₁=

π

6

，a₄=

7π

6

，设b_n=sina_n•sina_n+1•sina_n+2，则数列{b_n}的通项公式b_n=

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,等差数列的通项公式

专题：三角函数的图像与性质

分析：首先，根据a₁=

π

6

，a₄=

7π

6

，求出该等差数列的公差，然后，写出通项公式，再结合三角函数积化和差公式进行求解．

解答： 解：设等差数列{a_n}的公差为d，
则a₄=a₁+3d=

π

6

+3d=

7π

6

，
∴d=

π

3

，
∴通项公式a_n=

π

6

（2n-1），
∴a_n+1=

π

6

（2n+1），a_n+2=

π

6

（2n+3），
∵b_n=sina_n•sina_n+1•sina_n+2，
∴b_n=sina_n•sina_n+2^•sina_n+1
=-

1

2

[cos（a_n+a_n+2）-cos（a_n-a_n+2）]•sina_n+1
=-

1

2

[cos（2a_n+1）+

1

2

]•sina_n+1
=-

1

2

sina_n+1cos2a_n+1-

1

4

sina_n+1
=-

1

2

×

1

2

（sin3a_n+1-sina_n+1）-

1

4

sina_n+1
=-

1

4

sin3a_n+1+

1

4

sina_n+1-

1

4

sina_n+1
=-

1

4

sin[3×

π

6

（2n+1）]
=-

1

4

sin（nπ+

π

2

）
=（-1）^n-1•

1

4

故答案为：（-1）^n-1•

1

4

．

点评：本题综合考查了等差数列的概念和通项公式，两角和与差的三角函数等知识，属于中档题．