Question

已知实数x满足|x|≥2且x²+ax+b-2=0，则a²+b²的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：计算题

分析：将x²+ax+b-2=0变形为xa+b+x²-2=0，即点（a，b）在直线xa+b+x²-2=0上，则a²+b²的表示点（a，b）与（0，0）的距离的平方；（0，0）到直线xa+b+x²-2=0距离的平方为为

(x2-2)2

1+x2

，a2+b2≥

(x2-2)2

1+x2

，|x|≥2，通过换元，利用基本不等式求出最小值．

解答： 解：由于x²+ax+b-2=0，
则xa+b+x²-2=0，
∴点（a，b）在直线xa+b+x²-2=0上，
则a²+b²的表示点（a，b）与（0，0）的距离的平方；
∴（0，0）到直线xa+b+x²-2=0距离的平方为为

(x2-2)2

1+x2

，
∴a2+b2≥

(x2-2)2

1+x2

，|x|≥2，
令t=1+x²≥5，
∴a2+b2≥

(t-3)2

t

=t+

9

t

-6，t≥5，
令y=t+

9

t

-6，t≥5，则y=t+

9

t

-6（t≥5）为增函数，
∴当t=5时有最小值5+

9

5

-6=

4

5

；
当且仅当x=±2取等号．
故a²+b²的最小值为

4

5

．
故答案为：

4

5

．

点评：本题考查利用几何解决代数中最值问题；考查换元的数学方法及基本不等式求最值，是一道难题．