Question

已知二次函数y=f（x），满足f（1）=3，f（-1）=-1，f（x）的最小值-1．
（Ⅰ）求f（x）；
（Ⅱ）若函y=F（x），x∈R为奇函数，x＞0时，F（x）=f（x），求函数y=F（x），x∈R的解析式；
（Ⅲ）设g（x）=f（-x）-λf（x）+1，若g（x）在[-1，1]上是减函数，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）设出函数的解析式，得到方程组，解出即可；
（Ⅱ）结合函数的奇偶性，分别求出各个区间上的函数解析式，综合得出结论；
（Ⅲ）通过讨论λ的范围，结合函数的单调性，从而得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）设f（x）=a（x-h）²+k，（a≠0），
由题意得：

k=-1 a(1-h)2-1=3 a(-1-h)2-1=-1

，
解得：k=-1，h=-1，a=1，
∴f（x）=x²+2x；
（Ⅱ）∵y=F（x），x∈R为奇函数，∴F（0）=0，
当x＜0时，-x＞0，∴F（-x）=f（-x）=x²-2x，
又F（-x）=-F（x），∴F（x）=-x²+2x，
∴F（x）=

x2+2x，x＞0 0，x=0 -x2+2x，x＜0

；
（Ⅲ）g（x）=（1-λ）x²-（2+2λ）x+1，
若1-λ=0即λ=1，g（x）在[-1，1]递减，
若λ≠1，则对称轴x=

1+λ

1-λ

，g（x）在[-1，1]递减，
只需

1-λ＞0 1+λ 1-λ ≥1

或

1-λ＜0 1+λ 1-λ ≤-1

，解得：0≤λ＜1，
若λ＞1，g（x）在[-1，1]递减，
综上，λ≥0．

点评：本题考查了二次函数的性质，考查了求函数解析式问题，考查了分类讨论思想，是一道中档题．