Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{S_n}的前n项和为T_n，且满足T_n=

3

2

S_n-3n，n∈N^*．
（1）求a₁的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）记b_n=

2an

(an-2)2

，n∈N^*，求证：b₁+b₂+…+b_n＜1．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：综合题

分析：（1）将n=1代入T_n=

3

2

S_n-3n，求出a₁的值；
（2）根据当n≥2时，S_n=T_n-T_n-1求出Sn=

3

2

an-3仿写作差得出数列{a_n}是以6为首项，3为公比的等比数列，求出通项公式；
（3）当n=1时，b1=

3

4

＜1；当n≥2时，b_n=

2an

(an-2)2

=

4×3n

(2×3n-2)2 (    ) (    )

=

3n

(3n-1)2

＜

3n

(3n-1)(3n-3)

=

1

2

(

1

3n-1-1

-

1

3n-1

)通过裂项相消证出不等式．

解答： 解：（1）当n=1时，T1=

3

2

S1-3，
∵T₁=S₁=a₁
，∴a1=

3

2

a1-3
解得a₁=6
（2）当n≥2时，S_n=T_n-T_n-1=

3

2

S_n-3n-[

3

2

Sn-1-3(n-1)]=

3

2

Sn-

3

2

Sn-1-3
∴Sn=

3

2

an-3①
∴Sn-1=

3

2

an-1-3①
由②-①得a_n=3a_n-1
∴数列{a_n}是以6为首项，3为公比的等比数列
，∴an=6•3n-1=2•3n
（3）当n=1时，b1=

3

4

＜1
当n≥2时，b_n=

2an

(an-2)2

=

4×3n

(2×3n-2)2

=

3n

(3n-1)2

＜

3n

(3n-1)(3n-3)

=

3n-1

(3n-1)(3n-1-1)

=

1

2

[

(3n-1)-(3n-1-1)

(3n-1)(3n-1-1)

]
=

1

2

(

1

3n-1-1

-

1

3n-1

)
∴b₁+b₂+…+b_n＜b1+

1

2

(

1

31-1

-

1

32-1

)+

1

2

(

1

32-1

-

1

33-1

)+…+

1

2

(

1

3n-1-1

-

1

3n-1

)
＜

3

4

+

1

2

(

1

3-1

-

1

3n-1

)＜1

点评：本题考查数列通项的求法、考查了放缩法证明不等式及裂项相消的数列求和的方法；属于一道综合题．