Question

已知函数f（x）=

3

2

sin2x-cos²x+

1

2

，x∈R．
（Ⅰ）若x∈[

5

24

π，

3

4

π]，求函数f（x）的最大值和最小值及相应的x的值；
（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，c=

3

，f（C）=1，且sinB=2sinA，求a、b的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,余弦定理

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先，借助于二倍角公式，化简函数解析式：f（x）=sin（2x-

π

6

），然后，结合x∈[

5

24

π，

3

4

π]进行求解；
（Ⅱ）根据f（C）=1，得到C=

π

3

，然后，结合正弦定理和余弦定理进行求解．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=

3

2

sin2x-cos²x+

1

2

，
∴f（x）=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

+

1

2

=sin（2x-

π

6

），
∴f（x）=sin（2x-

π

6

），
∵x∈[

5

24

π，

3

4

π]，
∴（2x-

π

6

）∈[

π

4

，

4π

3

]，
∴当2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时，f（x）max=1，
∴当2x-

π

6

=

4π

3

，即x=

3π

4

时，f（x）min=-

3

2

；
（Ⅱ）∵f（C）=sin（2C-

π

6

）=1，
∴sin（2C-

π

6

）=1，
∵0＜C＜π，
∴-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，
∴2C-

π

6

=

π

2

，
∴C=

π

3

，
∵sinB=2sinA，
∴根据正弦定理，得b=2a，①
根据余弦定理，得c²=a²+b²-2abcos

π

3

，
∴c²=a²+b²-ab，②
根据①②，解得a=1，b=2．

点评：.本题重点考查了三角恒等变换、三角函数、正弦定理、余弦定理等知识，属于中档题．