Question

对于函数f（x），如果存在区间M=[a，b]（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出下列四个函数：
①f（x）=x³    ②f（x）=e^x    ③f（x）=lnx+1    ④f（x）=（x-1）²
其中存在“稳定区间”的函数有

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：根据已知条件可得，要让函数f（x）存在稳定区间，则函数y=x与f（x）的图象至少有两个交点，所以判断给出的四个函数和函数y=x的交点情况即可．

解答： 解：通过已知条件知：若f（x）存在稳定区间，则函数y=x与f（x）图象至少有两个交点；
①f（x）=x³，x∈[-1，1]时，f（x）∈[-1，1]，即存在M=[-1，1]，使得{y=f（x），x∈M}=M；
即该函数存在稳定区间；
②f（x）=e^x，对于x∈[a，b]，f（x）∈[e^a，e^b]，通过图象可以看出，y=x与f（x）=e^x图象不存在交点，∴该函数不存在稳定区间；

③f（x）=lnx+1，对于x∈[a，b]，f（x）∈[lna+1，lnb+1]，f（x）的图象是将lnx的图象向上平移1个单位得到，通过图象可以看出y=x与f（x）=lnx+1的图象有2个交点，∴该函数存在稳定区间；

④f（x）=（x-1）²，令y=f（x），解

y=x y=(x-1)2

，得x=

3± 5

2

，∴存在区间M=[

3- 5

2

，

3+ 5

2

]，使得x∈M，且f（x）∈M，即该函数存在稳定区间．
∴存在“稳定区间”的函数有：①④．
故答案为：①③④．

点评：考查函数的定义域，值域，通过图象解决问题以及对稳定区间概念的理解．