Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（

3

，

1

2

），离心率e=

3

2

（1）求椭圆的方程：
（2）若直线y=kx+2与椭圆有两个交点，求出k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）代入点得到关于a，b的方程，由离心率公式和a，b，c的关系，解出a，b，得到椭圆方程；
（2）联立直线方程y=kx+2和椭圆方程

x2

4

+y²=1，消去y，得到关于x的方程，由判别式大于0，即可得到k的范围．

解答： 解：（1）把点（

3

，

1

2

）代入椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1，
得

3

a2

+

1

4b2

=1，由

c

a

=

3

2

及c²=a²-b²，
可得a²=4，b²=1．
则椭圆的方程为：

x2

4

+y²=1；
（2）联立直线方程y=kx+2和椭圆方程

x2

4

+y²=1，
化简得，（4k²+1）x²+16kx+12=0
根据题意，得△=（16k）²-48（4k²+1）=16（4k²-3）＞0，
解得k＞

3

2

或k＜-

3

2

，
则k的取值范围是（-∞，-

3

2

）∪（

3

2

，+∞）．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查联立椭圆方程和直线方程，消去一个未知数，运用判别式大于0，属于基础题．