Question

已知函数y=

2x-1

x+1

．
（1）求函数f（x）图象的对称中心；
（2）判断函数f（

x

）的单调性，并证明你的结论；
（3）e为自然对数的底数，求函数f（e^x）-f（e^-x）的值域．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的值域,奇偶函数图象的对称性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）化简函数y，求出它的函数图象的对称中心；
（2）求出f（

x

），用定义证明它的单调性；
（3）求出f（e^x）-f（e^-x），根据（2）的结论求出f（e^x）-f（e^-x）的值域．

解答： 解：（1）∵函数y=

2x-1

x+1

=2-

3

x+1

，x+1≠0，
∴x≠-1，∴y≠2，
∴f（x）图象的对称中心是（-1，2）；
（2）f（

x

）=2-

3

x +1

（x≥0）是定义域上的增函数；
证明：任取x₁、x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=（2-

3

x1 +1

）-（2-

3

x2 +1

）
=

3( x1 - x2 )

( x1 +1)( x2 +1)

=

3(x1-x2)

( x1 + x2 )( x1 +1)( x2 +1)

；
∵0≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，

x1

+

x2

＞0，

x1

+1＞0，

x2

+1＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）是定义域上的增函数；
（3）∵f（e^x）-f（e^-x）=（2-

3

ex+1

）-（2-

3

e-x+1

）
=

3(ex-1)

ex+1

=3-

4

ex+1

；
由（2）知它是定义域上的增函数，且e^x∈（0，+∞），
∴f（e^x）-f（e^-x）的值域是（-1，3）．

点评：本题考查了求函数图象的对称中心，判定函数的单调性，以及求函数的值域的问题，解题时应认真分析，逐层深入，进行解答，是综合性题目．