题目内容
如图，已知底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，△ABC是边长为2的正三角形，AP=BP=
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（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；
（2）求二面角A-PC-D的余弦值．
考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（1）取AB的中点E，连结PE、CE，得PE⊥AB，PE⊥CE，从而PE⊥平面ABCD，由此能证明平面PAB⊥平面ABCD．
（2）在Rt△PEC中，过点E作EF⊥PC于点F，连结AF，过A作平面PCD的垂线，垂足为H，连结FH，由已知条件推导出∠AFH是二面角A-PC-D的平面角，由此能求出二面角A-PC-D的余弦值．
（2）在Rt△PEC中，过点E作EF⊥PC于点F，连结AF，过A作平面PCD的垂线，垂足为H，连结FH，由已知条件推导出∠AFH是二面角A-PC-D的平面角，由此能求出二面角A-PC-D的余弦值．
解答：
（1）证明：如图，取AB的中点E，连结PE、CE，
则PE是等腰△PAB的底边上的中线，
∴PE⊥AB，∴PE=1，CE=
，PC=2，
∴PE2+CE2=PC2，∴PE⊥CE，
又AB?平面ABCD，CE?平面ABCD，且AB∩CE=E，
∴PE⊥平面ABCD，
∵PE?平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD．
（2）解：如图，在Rt△PEC中，
过点E作EF⊥PC于点F，连结AF，
过A作平面PCD的垂线，垂足为H，连结FH，
∵AE⊥EC，AE⊥PE，∴AE⊥平面PEC，∴AE⊥PC，
又EF⊥PC，∴PC⊥平面AEF，∴PC⊥AF，
又PC⊥AH，∴AC⊥平面AFH，∴PC⊥FH，
∴∠AFH是二面角A-PC-D的平面角．
由AB⊥平面PEC，知EF⊥AB，
又AB∥CD，∴EF⊥CD，
又EF⊥PC，∴EF⊥平面PCD，
∵AH⊥平面PCD，∴AH∥EF，
∴A、E两点到平面PCD的距离相等，∴AH=EF，
∴四边形AEFH是矩形，∠AFH=∠EAP，
在Rt△AEF中，AE=1，EF=
，AF=
，
∴cos∠EAF=
=
，
∴二面角A-PC-D的余弦值是
．
则PE是等腰△PAB的底边上的中线，
∴PE⊥AB，∴PE=1，CE=
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∴PE2+CE2=PC2，∴PE⊥CE，
又AB?平面ABCD，CE?平面ABCD，且AB∩CE=E，
∴PE⊥平面ABCD，
∵PE?平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD．
（2）解：如图，在Rt△PEC中，
过点E作EF⊥PC于点F，连结AF，
过A作平面PCD的垂线，垂足为H，连结FH，
∵AE⊥EC，AE⊥PE，∴AE⊥平面PEC，∴AE⊥PC，
又EF⊥PC，∴PC⊥平面AEF，∴PC⊥AF，
又PC⊥AH，∴AC⊥平面AFH，∴PC⊥FH，
∴∠AFH是二面角A-PC-D的平面角．
由AB⊥平面PEC，知EF⊥AB，
又AB∥CD，∴EF⊥CD，
又EF⊥PC，∴EF⊥平面PCD，
∵AH⊥平面PCD，∴AH∥EF，
∴A、E两点到平面PCD的距离相等，∴AH=EF，
∴四边形AEFH是矩形，∠AFH=∠EAP，
在Rt△AEF中，AE=1，EF=
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∴cos∠EAF=
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| AF |
2
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∴二面角A-PC-D的余弦值是
2
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点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
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