Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点P（1，

3

2

），F₁、F₂分别为其左、焦点，直线l为其右准线．
（1）若2≤a≤

22

2

，求离心率e的取值范围；
（2）椭圆C的离心率e=

1

2

，点M是直线l上一动点．
①若直线F₁M交椭圆于S点，且F₁S=SM，求∠F₁SF₂的余弦值；
②直线L上是否存在一点N，使得F₁M⊥F₂N，且MN=2

14

？若存在，请求出N点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,存在型,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）运用离心率公式，以及椭圆经过点P，由不等式的性质，即可求出e的范围；
（2）①运用中点坐标公式，求出S的坐标，代入椭圆方程求出m，再由椭圆的定义和两点的距离公式，以及余弦定理，即可求出所求值；
②假设直线l上存在一点N，使得F₁M⊥F₂N，且MN=2

14

．运用斜率公式，列方程，消去m，得到n的方程，解出即可得到．

解答： 解：（1）椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点P（1，

3

2

），
则

1

a2

+

9

4b2

=1，即有b²=

9a2

4(a2-1)

，e²=

c2

a2

=1-

b2

a2

=1-

9

4(a2-1)

，
由于2≤a≤

22

2

，则3≤a²-1≤

7

2

，即有

1

4

≤1-

9

4(a2-1)

≤

5

14

，
则离心率e的取值范围是[

1

2

，

70

14

]；
（2）①椭圆C的离心率e=

1

2

，即有a=2c，b=

3

c，
代入

1

a2

+

9

4b2

=1，解得，c=1，a=2，b=

3

，
则椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1，焦点F₁（-1，0），F₂（1，0），
右准线方程为l：x=4，设M（4，m），
由于直线F₁M交椭圆于S点，且F₁S=SM，
则S（

3

2

，

m

2

），代入椭圆方程，得，

9

16

+

m2

12

=1，解得，m²=

21

4

，
则|F₁S|=

25 4 + 21 16

=

11

4

，|F₂S|=4-

11

4

=

5

4

，|F₁F₂|=2，
则cos∠F₁SF₂=

25 16 + 121 16 -4

2× 5 4 × 11 4

=

41

55

；
②假设直线l上存在一点N，使得F₁M⊥F₂N，且MN=2

14

．
则设M（4，m），N（4，n），则有|m-n|=2

14

，

m

5

•

n

3

=-1，
消去m，得到n²±2

14

n+15=0，由于判别式为4×14-4×15＜0，
故方程无实数解，即不存在一点N，使得F₁M⊥F₂N，且MN=2

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．

点评：本题考查椭圆的方程和定义、性质及运用，考查直线的斜率公式及方程的运用，考查运算能力，属于中档题．