Question

已知函数f（x）=a•2^x-2^-x，函数g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称．
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）若对任意x∈R，不等式f（x）+g（x）-1≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）设p（x，y）为g（x）上任意一点，则p（x，y）关于y轴对称点为p′（-x，y），由题意知p′（-x，y）在f（x）图象上，代入可得g（x）=a•2^-x-2^x；
（Ⅱ）由题意可得a（2^-x+2^x）-（2^-x+2^x）-1≥0，解得a≥1+

1

2x+2-x

（x∈R），令y=t+

1

t

，其中t=2^x＞0，易知y在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，即可推得y_min=2，进而求得实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）设p（x，y）为g（x）上任意一点，则p（x，y）关于y轴对称点为p′（-x，y），
由题意知p′（-x，y）在f（x）图象上，故g（x）=a•2^-x-2^x．
（Ⅱ）由f（x）+g（x）-1≥0得a（2^-x+2^x）-（2^-x+2^x）-1≥0，
∵2^-x+2^x＞0
∴a≥1+

1

2x+2-x

（x∈R）
令y=t+

1

t

，其中t=2^x＞0，易知y在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
∴当t=1，即x=0时，y_min=2
∴(1+

1

2x+2-x

)max=

3

2

．
故有：a≥

3

2

．

点评：本题主要考察了函数奇偶性的性质，函数恒成立问题及解法，属于中档题．