Question

对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：
①f（x）在D内具有单调性；
②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么称y=f（x）（x∈D）为闭函数．
（1）求闭函数y=-x³符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数f（x）=

3

5

x+

2

x

（x＞0）是否为闭函数？并说明理由；
（3）若函数y=k+

x+1

是闭函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用,函数的定义域及其求法,函数的值域,函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用闭函数的定义，判断y=-x³符合条件②时满足的关系式，即可求解区间[a，b]；
（2）判断函数f（x）=

3

5

x+

2

x

（x＞0）是否为单调函数即可判断是否为闭函数；
（3）利用函数y=k+

x+1

是闭函数，利用函数的单调性列出不等式组，即可求实数k的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（0）＞f（1）且f（x）为闭函数
∴f（x）=-x³在R上单调减，…（1分）
∴

f(a)=b f(b)=a a＜b

即

-a3=b -b3=a a＜b

a=-1 b=1

…（4分）
∴符合条件的闭区间为[-1，1]…（5分）
（2）解：函数f（x）=

3

5

x+

2

x

，所以函数f′（x）=

3

5

-

2

x2

，显然导函数有两个零点，一个大于0，所以函数在（0，+∞）上不是单调函数，不满足闭函数的定义．  …（10分）
（3）解：∵f（x）是闭函数且在[a，b]上单调增
∴

k+ a+1 =a k+ b+1 =b

∴a，b是方程k+

x+1

=x的两个不等实根…（12分）
令t=

x+1

∴t²-t-k-1=0在[0，+∞）上有两个不相等实根
∴

△=1+4k+1＞0 1 2 ＞0 -k-1≥0

…（15分）
∴-

5

4

＜k≤-1…（16分）

点评：本题考查新定义的应用，函数的导数判断函数的单调性以及转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．