Question

已知函数f（x）=log_a（2+x），g（x）=log_a（2-x），a＞0且a≠1且设h（x）=f（x）-g（x）．
（Ⅰ）求函数h（x）的定义域；
（Ⅱ）判断h（x）的奇偶性，并加以证明；
（Ⅲ）当f（x）＞g（x）时，求x的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：（I）h（x）=f（x）-g（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x），
要使函数h（x）有意义，可得

2+x＞0 2-x＞0

，解得即可．
（II）判断h（-x）与±h（x）的关系即可得出．
（III）log_a（2+x）＞log_a（2-x）．分类讨论：当0＜a＜1时，当1＜a时，利用对数函数的单调性即可得出．

解答： 解：（I）h（x）=f（x）-g（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x），
∴

2+x＞0 2-x＞0

，解得-2＜x＜2．
∴函数h（x）的定义域为（-2，2）．
（II）∵h（-x）=log_a（2-x）-log_a（2+x）=-h（x），
∴函数h（x）为奇函数．
（III）∵f（x）＞g（x），∴log_a（2+x）＞log_a（2-x）．
当0＜a＜1时，0＜2+x＜2-x，解得-2＜x＜0，即x的取值范围是（-2，0）．
当1＜a时，2+x＞2-x＞0，解得0＜x＜2，即x的取值范围是（0，2）．

点评：本题考查了对数函数类型函数的单调性、奇偶性、定义域，考查了计算能力，属于基础题．