Question

已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，F₁、F₂为焦点，点P在椭圆上，直线PF₁与PF₂的倾斜角的差为90°，△F₁PF₂的面积是20，离心率为

5

3

，求椭圆的标准方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：不妨设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．由于直线PF₁与PF₂的倾斜角的差为90°，可得PF₁⊥PF₂．设|PF₁|=m，|PF₂|=n．由于△F₁PF₂的面积是20，离心率为

5

3

，可得

1

2

mn=20，

c

a

=

5

3

，又m+n=2a，m²+n²=4c²，a²=b²+c²．联立解得即可．

解答： 解：不妨设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
∵直线PF₁与PF₂的倾斜角的差为90°，
∴PF₁⊥PF₂．
设|PF₁|=m，|PF₂|=n．
∵△F₁PF₂的面积是20，离心率为

5

3

，
∴

1

2

mn=20，

c

a

=

5

3

，
又m+n=2a，m²+n²=4c²，a²=b²+c²．
联立解得a=3

5

，c=5，b²=20．
∴椭圆的标准方程为：

x2

45

+

y2

20

=1．

点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、勾股定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．