Question

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知（a₁₀₀₆-1）³+2013（a₁₀₀₆-1）=1，（a₁₀₀₈-1）³+2013（a₁₀₀₈-1）=-1，则（　　）

• A、S₂₀₁₃=2013，a₁₀₀₈＞a₁₀₀₆
• B、S₂₀₁₃=2013，a₁₀₀₈＜a₁₀₀₆
• C、S₂₀₁₃=-2013，a₁₀₀₈＞a₁₀₀₆
• D、S₂₀₁₃=-2013，a₁₀₀₈＜a₁₀₀₆

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：根据等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式即可得到结论．

解答： 解：∵（a₁₀₀₆-1）³+2013（a₁₀₀₆-1）=1＞0，（a₁₀₀₈-1）³+2013（a₁₀₀₈-1）=-1＜0，
∴a₁₀₀₆＞1，a₁₀₀₈＜1，即a₁₀₀₈＜a₁₀₀₆，
设a=a₁₀₀₆-1，b=a₁₀₀₈-1，
则a＞0，b＜0，
则条件等价为：a³+2013a=1，b³+2013b=-1，
两式相加得a³+b³+2013（a+b）=0，
即（a+b）（a²-ab+b²）+2013（a+b）=0，
∴（a+b）（a²-ab+b²+2013）=0，
∵a＞0，b＜0，
∴ab＜0，-ab＞0，
即a²-ab+b²+2013＞0，
∴必有a+b=0，
即a₁₀₀₆-1+a₁₀₀₈-1=0，
∴a₁₀₀₆+a₁₀₀₈=2，即a₁₀₀₆+a₁₀₀₈=a₁+a₂₀₁₃=2，
∴S₂₀₁₃=

2013(a1+a2013)

2

=2013，
故选：B．

点评：本题主要考查等差数列的性质的应用，要求熟练掌握等差数列的前n项和公式以及等差数列的性质．中间利用了a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²）的公式．