Question

若不等式|x-2a|≥

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2

x+a-1对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：化简不等式|x-2a|≥

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x+a-1得|x-2a|-

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x-a+1≥0，构造函数f（x）=|x-2a|-

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x-a+1，利用分段函数求出f（x）的最小值，根据不等式|x-2a|≥

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2

x+a-1对x∈R恒成立等价于f（x）_min≥0，即可求出a的范围．

解答： 解：不等式|x-2a|≥

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x+a-1可化为|x-2a|-

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2

x-a+1≥0，
令f（x）=|x-2a|-

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x-a+1，
则不等式|x-2a|≥

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2

x+a-1对x∈R恒成立等价于f（x）≥0，
∵f(x)=

1 2 x-3a+1，x＞2a a- 3 2 x+1，x≤2a

，
∴f（x）在（-∞，2a）上递减，在（2a，+∞）上递增，
∴f（x）≥f（2a）=-2a+1≥0，
∴a≤

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2

，
∴实数a的取值范围是（-∞，

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2

]．

点评：本题考查不等式的转化，含有绝对值的函数化为分段函数解决的技巧，恒成立问题的转化等知识的应用，属于中档题．