Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，当x₁≤x₂时，f（x₁）≤f（x₂）．当x∈[0，1]时，2f（

x

5

）=f（x），且f（x）图象关于点（

1

2

，

1

2

）对称，则f（

1

15

）=（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  1

  2

• C、

  1

  3

• D、

  1

  5

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：利用赋值法，结合（x）图象关于点（

1

2

，

1

2

）对称得到f（x）=1-f（1-x），先求解f（0），f（1），f（

1

2

）的值，然后，利用条件，找规律，即可得到结论．

解答： 解：∵（x）图象关于点（

1

2

，

1

2

）对称，
∴f（x）+f（1-x）=1，即f（x）=1-f（1-x），
∵f（x）是奇函数，
∴f（0）=0，
由f（x）=1-f（1-x），
得 f（1）=1，
令x=

1

2

，则f（

1

2

）=

1

2

，
∵当x∈[0，1]时，2f（

x

5

）=f（x），
∴f（

x

5

）=

1

2

f（x），
即f（

1

5

）=

1

2

f（1）=

1

2

，
f（

1

25

）=

1

2

f（

1

5

）=

1

4

，
f（

1

10

）=

1

2

f（

1

2

）=

1

4

，
∵当x₁≤x₂时，f（x₁）≤f（x₂）．
∴当

1

25

＜x＜

1

10

时，f（

1

25

）≤f（x）≤f（

1

10

），
即此时

1

4

≤f（x）≤

1

4

，
即当

1

25

＜x＜

1

10

时，f（x）=

1

4

为常数，
∵

1

25

＜

1

15

＜

1

10

，
∴f（

1

15

）=

1

4

，
故选：A．

点评：本题主要考查函数值的计算，利用函数的单调性，奇偶性寻找规律是解决本题的关键，综合性较强，有一点的难度．