Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且an=Sn•Sn-1(n≥2，Sn≠0)，a1=

2

9

．
（Ⅰ）求证：数列{

1

Sn

}为等差数列；
（Ⅱ）求满足a_n＜0的自然数n的集合．

Answer 1

考点：等差关系的确定

专题：综合题

分析：（Ⅰ）根据S_n-S_n-1=a_n，a_n=S_n•S_n-1，可得

1

Sn

-

1

Sn-1

=

Sn-1-Sn

SnSn-1

=-1，从而可得数列{

1

Sn

}是公差为-1，首项为

9

2

的等差数列．
（Ⅱ）先求得S_n=

2

11-2n

，从而可得a_n=

4

(11-2n)(13-2n)

，进而可求满足a_n＜0的自然数n的集合．

解答： （Ⅰ）证明：∵S_n-S_n-1=a_n，a_n=S_n•S_n-1
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=

Sn-1-Sn

SnSn-1

=-1∵S₁=a₁=

2

9

∴所以数列{

1

Sn

}是公差为-1，首项为

9

2

的等差数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，

1

Sn

=

11-2n

2

∴S_n=

2

11-2n

∴a_n=

4

(11-2n)(13-2n)

令a_n＜0，即

4

(11-2n)(13-2n)

＜0
∴5.5＜n＜6.5
∴n=6
∴解集为：{6}

点评：本题考查等差数列的证明，考查解不等式，解题的关键是利用等差数列的定义．