Question

设函数f（x）=x+

λ

x

，其中常数λ＞0．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若λ=1，判断f（x）在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义加以证明；
（3）是否存在正的常数λ，使f（x）在区间（0，+∞）上单调递增？若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数f（x）=x+

λ

x

的定义域{x|x≠0}关于原点对称，且f（-x）=-f（x），可得f（x）为奇函数；
（2）当λ=1时，f（x）=x+

1

x

，利用导数法，可得当x∈[1，+∞）时，f′（x）≥0恒成立，故f（x）在区间[1，+∞）上单调递增；
（3）由函数f（x）=x+

λ

x

，可得f′（x）=1-

λ

x2

=

x2-λ

x2

，由x∈（0，

λ

）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）=x+

λ

x

为减函数，故不存在正的常数λ，使f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=x+

λ

x

的定义域{x|x≠0}关于原点对称，
且f（-x）=-x+

λ

-x

=-（x+

λ

x

）=-f（x），
故f（x）为奇函数；
（2）当λ=1时，f（x）=x+

1

x

，
则f′（x）=1-

1

x2

=

x2-1

x2

，
当x∈[1，+∞）时，f′（x）≥0恒成立，
故f（x）在区间[1，+∞）上单调递增；
（3）由函数f（x）=x+

λ

x

，
可得f′（x）=1-

λ

x2

=

x2-λ

x2

，
当x∈（0，

λ

）时，f′（x）＜0，
此时函数f（x）=x+

λ

x

为减函数，
故不存在正的常数λ，使f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，函数单调性的判断，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．