题目内容

在△ABC中，满足
AB
与
AC
的夹角为60°，M是AB的中点，
（1）若|
AB
|=|
AC
|，求向量
AB
+2
AC
与
AB
的夹角的余弦值；．
（2）若|
AB
|=2，|
BC
|=2
3
，点D在边AC上，且
AD
=λ
AC
，如果
MD
•
AC
=0，求λ的值．
（1）设|
AB
|=1，
AB
•
AC
=|
AB
|•|
AC
|cos60°=
1
2
，
则|
AB
+2
AC
|=
|
AB
|2+4
AB
?
AC
+(2
AC
)2
=
1+4×
1
2
+4
=
7

而
AB
•(
AB
+2
AC
)=2，
所以向量
AB
+2
AC
与
AB
的夹角的余弦值等于cosθ=
AB
?(
AB
+2
AC
)
|
AB
+2
AC
|?|
AB
|
=
2
7
=
2
7
7
．
（2）在|
BC
|2=|
AC
|2+|
AB
|2-2|
AB
|•|
AC
|•cos60°，
解得|
AC
|=4，
因为
MD
⊥
AC
，所以|
AD
|=cos60°=
1
2
，
故λ=
1
8
．
练习册系列答案
相关题目
非零向量
a
，
b
满足|
a
|=|
b
|=|
a
+
b
|，则
a
与
a
+
b
的夹角为______．
已知定点F（1，0），动点P（异于原点）在y轴上运动，连接FP，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且
PM
•
PF
=0，|
PN
|=|
PM
|．
（1）求动点N的轨迹C的方程；
（2）若直线l与动点N的轨迹交于A、B两点，若
OA
•
OB
=-4且4
6
≤|AB|≤4
30
，求直线l的斜率k的取值范围．
已知点A（-2，0），B（3，0），动点P（x，y）满足
PA
•
PB
=x2-6，则点P的轨迹为（　　）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
已知O坐标原点，点M（1，-2），点N（x，y）
x≥1
x-2y≤1
x-4y+3≥0
，则
OM
•
ON
的最大值为______．
向量
a
、
b
是单位正交基底，
c
=x
a
+y
b
，x，y∈R，（
a
+2
b
）•
c
=-4，（2
a
-
b
）•
c
=7，则x+y=______．
已知向量
m
=（
3
sin
x
4
，1），
n
=（cos
x
4
，cos2
x
4
）．记f（x）=
m
•
n

（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）求当x∈（0，π）时，函数f（x）的值域．
已知向量
a
=（2，3），
b
=（1，-5），则
b
在
a
方向上的投影等于______．
已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的
长度，若，，则（    ）
A.  B.                 

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