题目内容

已知定点F(1,0),动点P(异于原点)在y轴上运动,连接FP,过点P作PM交x轴于点M,并延长MP到点N,且
PM
PF
=0
|
PN
|=|
PM
|

(1)求动点N的轨迹C的方程;
(2)若直线l与动点N的轨迹交于A、B两点,若
OA
OB
=-4
4
6
≤|AB|≤4
30
,求直线l的斜率k的取值范围.
(1)设动点N(x,y),则M(-x,0),P(0,
y
2
)(x>0),
∵PM⊥PF,∴kPMkPF=-1,即
y
2
x
y
2
-1
=-1

∴y2=4x(x>0)即为所求.
(2)设直线l方程为y=kx+b,l与抛物线交于点A(x1,y1)、B(x2,y2),
则由
OA
OB
=-4
,得x1x2+y1y2=-4,即
y12y22
16
+y1y2=-4,∴y1y2=-8,
y2=4x
y=kx+b
可得ky2-4y+4b=0(其中k≠0),∴y1y2=
4b
k
=-8,b=-2k,
当△=16-16kb=16(1+2k2)>0时,|AB|2=(1+
1
k2
(y2-y1)2=
1+k2
k2
•[(y2+y1)2-4y1•y2]=
1+k2
k2
16
k2
+32).
由题意,得16×6≤
1+k2
k2
•≤16×30,解得
1
4
≤k
2
≤1

1
2
≤k≤1,或-1≤k≤-
1
2

即所求k的取值范围是[-1,-
1
2
]∪[
1
2
1].
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