Question

8．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}是等比数列，满足a₁=3，b₁=1，b₂+S₂=10，a₅-2b₂=a₃．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n=$\frac{1}{2{S}_{n}}$+b_n，设数列{c_n}的前n项和T_n，求T_2n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（Ⅱ）求出c_n，运用等比数列的求和公式和裂项相消求和，即可得到所求．

解答 解：（I）设数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比为q，
由a₁=3，b₁=1，b₂+S₂=10，a₅-2b₂=a₃．
得$\left\{\begin{array}{l}{q+6+d=10}\\{3+4d-2q=3+2d}\end{array}\right.$，
解得d=q=2，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1，b_n=2^n-1．
（Ⅱ）c_n=$\frac{1}{2{S}_{n}}$+b_n=$\frac{1}{2•\frac{1}{2}n（2n+4）}$+2^n-1，
=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）+2^n-1，
前n项和T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）+$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$
=$\frac{1}{4}$（$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）+2ⁿ-1=2ⁿ-$\frac{5}{8}$-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$）．
则T_2n=2²ⁿ-$\frac{5}{8}$-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+2}$）．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查裂项相消求和的运用，属于中档题．