题目内容
12．在数列{an}中，a1=$\frac{1}{2}$，{an}的前n项和Sn满足Sn+1-Sn=（$\frac{1}{2}$）n+1（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式an，以及前n项和Sn；
（2）若S1+S2，S1+S3，m（S2+S3）成等差数列，求实数m的值．
分析 （1）由an+1=Sn+1-Sn=$（\frac{1}{2}）^{n+1}$．可得n≥2时，an=$（\frac{1}{2}）^{n}$，n=1时也成立．利用求和公式可得Sn．
（2）由（1）可得：S1=$\frac{1}{2}$，S2=$\frac{3}{4}$，S3=$\frac{7}{8}$．根据S1+S2，S1+S3，m（S2+S3）成等差数列即可得出．
解答 解：（1）∵an+1=Sn+1-Sn=$（\frac{1}{2}）^{n+1}$．
∴n≥2时，an=$（\frac{1}{2}）^{n}$，又a1=$\frac{1}{2}$，因此n=1时也成立．
∴an=$（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴Sn=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
（2）由（1）可得：S1=$\frac{1}{2}$，S2=$\frac{3}{4}$，S3=$\frac{7}{8}$．
∵S1+S2，S1+S3，m（S2+S3）成等差数列，∴$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$+m（$\frac{3}{4}$+$\frac{7}{8}$）=2（$\frac{1}{2}$+$\frac{7}{8}$）．
解得m=$\frac{12}{13}$．
点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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