Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点F，右顶点A，右准线x=4且|AF|=1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）动直线l：y=kx+m与椭圆C有且只有一个交点P，且与右准线相交于点Q，试探究在平面直角坐标系内是否存在点M，使得以PQ为直径的圆恒过定点M？若存在，求出点M坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点F，右顶点A，右准线x=4且|AF|=1，求出a，c，可得b，即可求得椭圆E的方程．
（2）直线l：y=kx+m与椭圆方程联立，消元可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，利用动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x₀，y₀），可得m≠0，△=0，进而可得P(-

4k

m

，

3

m

)．由Q（4，4k+m），可得

MP

=(-

4k

m

-t，

3

m

)，

MQ

=(4-t，4k+m)，若以PQ为直径的圆恒过定点M，则

MP

•

MQ

=0恒成立，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点F，右顶点A，右准线x=4且|AF|=1，
∴

a2

c

=4，a-c=1，
∴a=2，c=1，
∴b=

3

，
∴椭圆C的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1．（5分）
（2）直线l：y=kx+m与椭圆方程联立，消去y可得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，（7分）
∴△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=0，即m²=3+4k²．
xp=-

4km

3+4k2

=-

4k

m

，yp=kxp+m=-

4k2

m

+m=

3

m

，即P(-

4k

m

，

3

m

)．（9分）
假设存在点M满足题意，则由椭圆的对称性知，点M应在x轴上，不妨设点M（t，0）．
又Q（4，4k+m），

MP

=(-

4k

m

-t，

3

m

)，

MQ

=(4-t，4k+m)，
若以PQ为直径的圆恒过定点M，
则

MP

•

MQ

=(-

4k

m

-t)•（4-t）+

3

m

•(4k+m)=t2-4t+3+

4k

m

(t-1)=0恒成立，
故

t=1 t2-4t+3=0

，即t=1．（13分）
∴存在点M适合题意，点M与右焦点重合，其坐标为（1，0）．

点评：本题主要考查抛物线的定义与性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．