Question

8．已知函数f（x）=$\frac{1+2lnx}{x^2}$．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）存在x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，使|f（x₁）-f（x₂）|≥k|lnx₁-lnx₂|成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据已知原函数的解析式求导，分析定义域内各区间上导函数的符号，进而可得f（x）的单调区间；
（2）存在x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，使|f（x₁）-f（x₂）|≥k|lnx₁-lnx₂|成立，即存在x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，使f（x₂）+klnx₂≥f（x₁）+klnx₁成立．令h（x）=f（x）+klnx，利用导数法求其最值，可得答案．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{1+2lnx}{x^2}$．
∴$f'（x）=\frac{-4lnx}{x^3}$，
令f′（x）=0得x=1，
x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
综上，f（x）单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．（4分）
（2）不妨设x₁＞x₂＞1，由（1）知x∈（1，+∞）时，f（x）单调递减．
|f（x₁）-f（x₂）|≥k|lnx₁-lnx₂|等价于f（x₂）-f（x₁）≥k（lnx₁-lnx₂），
即f（x₂）+klnx₂≥f（x₁）+klnx₁，
存在x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，使f（x₂）+klnx₂≥f（x₁）+klnx₁成立．（7分）
令h（x）=f（x）+klnx，h（x）在（1，+∞）上存在减区间.$h'（x）=\frac{{k{x^2}-4lnx}}{x^3}＜0$有解，即$k＜\frac{4lnx}{x^2}$有解，即$k＜{（\frac{4lnx}{x^2}）_{max}}$．（9分）
令$t（x）=\frac{4lnx}{x^2}$，$t'（x）=\frac{4（1-2lnx）}{x^3}$，$x∈（0，\sqrt{e}）$时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，$x∈（\sqrt{e}，+∞）$时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
∴${（\frac{4lnx}{x^2}）_{max}}=\frac{2}{e}$，
∴$k＜\frac{2}{e}$．（12分）

点评 本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，难度中档．