题目内容
18．已知锐角三角形ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（2sinB，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（2cos2$\frac{B}{2}$-1，cos2B），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．（1）求函数f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB的最小正周期及单调递增区间．
（2）若b=4，求三角形ABC的面积的最大值．
分析 由两向量的坐标及两向量垂直，得到两向量数量积为0求出B的度数，
（1）f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，将B的度数代入，根据最小正周期以及正弦函数的单调增区间求出x的范围即可；
（2）由b及cosB的值，利用余弦定理列出关系式，利用基本不等式变形后，求出ac的最大值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将ac的最大值代入计算即可求出三角形ABC面积的最大值．
解答 解：∵$\overrightarrow{m}$=（2sinB，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（2cos2$\frac{B}{2}$-1，cos2B），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2sinB（2cos2$\frac{B}{2}$-1）+$\sqrt{3}$cos2B=sin2B+$\sqrt{3}$cos2B=2sin（2B+$\frac{π}{3}$）=0，
∴2B+$\frac{π}{3}$=0或2B+$\frac{π}{3}$=π
解得B=-$\frac{π}{6}$（舍去），或B=$\frac{π}{3}$，
（1）f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB=sin（2x-B）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π
由2x-$\frac{π}{3}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z，得函数f（x）的单调增区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5}{12}$]，k∈Z；
（2）由余弦定理得：16=a2+c2-2accos$\frac{π}{3}$=a2+c2-ac≥ac，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$acsin$\frac{π}{3}$≤4$\sqrt{3}$，
则△ABC面积的最大值为4$\sqrt{3}$．
点评 此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，正弦函数的单调性，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
| A． | （-∞，2] | B． | （-∞，2） | C． | [-1，+∞） | D． | [-1，2） |
| A． | $\frac{π}{18}$ | B． | $\frac{π}{12}$ | C． | $\frac{π}{6}$ | D． | $\frac{π}{3}$ |
| A． | 2个 | B． | 4个 | C． | 6个 | D． | 8个 |
| A． | $\frac{π^2}{4}$ | B． | $-\frac{π^2}{4}$ | C． | π | D． | -π |