Question

10．设函数f（x）=$\sqrt{\frac{1+sinx}{1-sinx}}$-$\sqrt{\frac{1-sinx}{1+sinx}}$，且f（α）=1，α为第二象限角．
（1）求tanα的值．
（2）求sinαcosα+5cos²α的值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得要求式子的值．
（2）利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\sqrt{\frac{1+sinx}{1-sinx}}$-$\sqrt{\frac{1-sinx}{1+sinx}}$，且f（α）=1，α为第二象限角．
∴$\sqrt{\frac{1+sinα}{1-sinα}}$-$\sqrt{\frac{1-sinα}{1+sinα}}$=|$\frac{1+sinα}{cosα}$|-|$\frac{1-sinα}{cosα}$|=-$\frac{1+sinα}{cosα}$-$\frac{sinα-1}{cosα}$=-2tanα=1，
∴tanα=-$\frac{1}{2}$．
（2）sinαcosα+5cos²α=$\frac{sinαcosα+{5cos}^{2}α}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$=$\frac{tanα+5}{{tan}^{2}α+1}$=$\frac{-\frac{1}{2}+5}{\frac{1}{4}+1}$=$\frac{18}{5}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．