Question

2．已知函数f（x）=e^x，g（x）=mx²+ax+b，其中m，a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．
（I）函数h（x）=xf （x），当a=l，b=0时，若函数h（x）与g（x）具有相同的单调区间，求m的值；
（II）记F（x）=f（x）-g（x）．当a=2，m=0时，若函数F（x）在[-1，2]上存在两个不同的零点，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求解导数得出：h（x）=xe^x，（-∞，-1）上单调递减，（-1，+∞）单调递增，x=-1时h（x）去极小值．
（Ⅱ）当m=0时，记F（x）=f（x）-g（x）=e^x-ax-b，F（x）在（-∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，F（x）的最小值为F（ln2）=2-2ln2-b，根据函数性质得出：2-2ln2-b＜0，F（-1）≥0，F（2）≥0．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=e^x，函数h（x）=xf（x），
∴h（x）=xe^x，∴h′（x）=e^x+xe^x，
∵h′（x）=e^x+xe^x=0，x=-1，
h′（x）=e^x+xe^x＞0，x＞-1，
h′（x）=e^x+xe^x＜0，x＜-1，
∴h（x）=xe^x，（-∞，-1）上单调递减，（-1，+∞）单调递增，x=-1时h（x）取极小值，
∵当a=1，b=0时g（x）=mx²+ax+b=mx²+x，若函数h（x）与g（x）具有相同的单调区间，
∴-$\frac{1}{2m}$=-1，m=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）当m=0，a=2时，F（x）=e^x-2x-b，
∴F′（x）=e^x-2，
∵F′（x）=e^x-2=0，x=ln2，
F′（x）=e^x-2＞0，x＞ln2
F′（x）=e^x-2＜0，x＜ln2，
∴F（x）在（-∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，
F（x）的最小值为F（ln2）=2-2ln2-b，
∵函数F（x）在[-1，2]上存在两个不同的零点，
∴2-2ln2-b＜0，F（-1）≥0，F（2）≥0，
解得出：b＞2-2ln2，b≤$\frac{1}{e}$+2，b≤e²-4，
即2-2ln2＜b≤$\frac{1}{e}$+2．

点评 本题考查了函数思想的运用，导数在求解单调性，最值中的应用，知识比较多，难度较大．