Question

3．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x+b}}{x}$过点（1，e）．
（1）求y=f（x）的单调区间；
（2）当x＞0时，求$\frac{f（x）}{x}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出b的值，求出导函数，得出函数的单调区间；
（2）构造函数）令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，求出导函数g'（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}-2x）}{{x}^{4}}$，根据导函数判断函数的极值即可．

解答 解：（1）函数定义域为{x|x≠0}，
f（1）=e，
∴b=0，
∴f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，f'（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
当x≥1时，f'（x）≥0，函数递增；
当x＜0或0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）递减；
∴函数的增区间为[1，+∞]，减区间为（-∞，0），（0，1）；
（2）令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，g'（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}-2x）}{{x}^{4}}$，
当在（0，2）时，g'（x）＜0，g（x）递减；
当在（2，+∞）时，g（x）＞0，g（x）递增，
∴g（x）=$\frac{{e}^{2}}{4}$为函数的最小值．

点评 本题考查了导函数的基本应用，属于常规题型，应熟练掌握．