Question

14．已知p：对?m∈[-1，1]，不等式${a^2}-5a-3≥\sqrt{{m^2}+8}$恒成立；q：?x∈R使不等式x²+ax+2＜0成立，若p是真命题，q是假命题，求a的取值范围．

Answer 1

分析 p：对?m∈[-1，1]，不等式${a^2}-5a-3≥\sqrt{{m^2}+8}$恒成立；则a²-5a-3≥3，解得a范围．q：?x∈R使不等式x²+ax+2＜0成立，则△＞0，解得$a＞2\sqrt{2}$，或a＜-2$\sqrt{2}$．q是假命题时，$-2\sqrt{2}≤a≤2\sqrt{2}$．利用p是真命题，q是假命题，即可得出．

解答 解：p：对?m∈[-1，1]，不等式${a^2}-5a-3≥\sqrt{{m^2}+8}$恒成立；则a²-5a-3≥3，解得a≥6或a≤-1．
q：?x∈R使不等式x²+ax+2＜0成立，则△=a²-8＞0，解得$a＞2\sqrt{2}$，或a＜-2$\sqrt{2}$．
q是假命题时，$-2\sqrt{2}≤a≤2\sqrt{2}$．
若p是真命题，q是假命题，则$\left\{\begin{array}{l}{a≥6或a≤-1}\\{-2\sqrt{2}≤a≤2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解得$-2\sqrt{2}≤a≤$-1．
∴a的取值范围是[-2$\sqrt{2}$，-1]．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．