Question

16．已知${f_0}（x）=x{e^x}，{f_1}（x）={f'_0}（x），{f_2}（x）={f'_1}（x），…，{f_n}（x）={f'_{n-1}}（x）（n∈{N^+}）$．
（Ⅰ）请写出f_n（x）的表达式（不需证明）；
（Ⅱ）设f_n（x）的极小值点为P_n（x_n，y_n），求y_n；
（Ⅲ）设${g_n}（x）=-{x^2}-2（n+1）x-8n+8$，g_n（x）的最大值为a，f_n（x）的最小值为b，求b-a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据导数写出f₁（x），f₂（x）归纳出f_n（x）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f_n（x）的表达式，要求极值点，就要借助导函数，令导函数为0，解出x_n，验证是极值后代入解析式即可求出y_n．
（Ⅲ）类比求f_n（x）的极小值的过程求出g_n（x）的极大值，进而求出最值即可．

解答 解：（Ⅰ）f_n（x）=（x+n）e^x（n∈N^*）．…（4分）
（Ⅱ）∵f_n′（x）=（x+n+1）e^x，
∴当x＞-（n+1）时，f_n′（x）＞0；当x＜-（n+1）时，f_n′（x）＜0．
∴当x=-（n+1）时，f_n（x）取得极小值f_n[-（n+1）]=-e^-（n+1）
，即y_n=-e^-（n+1）（n∈N^*）．…（8分）
（Ⅲ）∵g_n（x）=-[x+（n+1）]²+（n-3）²
∴a=+（n-3）²，
又b=-e^-（n+1），
∴a-b=（n-3）²+e^-（n+1），
令h（x）=（x-3）²+e^-（x+1）（x≥0），则h'（x）=2（x-3）-e^-（x+1）．…（10分）
∵h'（x）在[0，+∞）单调递增，∴h'（x）≥h'（0）=-6-e^-1，
∵h'（3）=-e^-4＜0，h'（4）=2-e^-5＞0，
∴存在x₀∈（3，4）使得h'（x₀）=0．…（12分）
∵h'（x）在[0，+∞）单调递增，
∴当0≤x＜x₀时，h'（x₀）＜0；当x＞x₀时，h'（x₀）＞0，
即h（x）在[x₀，+∞）单调递增，在[0，x₀）单调递减，
∴（h（x））_min=h（x₀），
又∵h（3）=e^-4，h（4）=1+e^-5，h（4）＞h（3），
∴当n=3时，a-b取得最小值e^-4．…（14分）

点评 本题主要考查函数、导数、数列以及合情推理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想及有限与无限思想．着重考查学生利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．