Question

6．若对任意的x＞1，函数x+xln x≥k（3x-e）（其中e是白然对数的底数，e=2.71828…），则实数k的最大值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 整理不等式得$\frac{x+xlnx}{3x-e}$≥k恒成立，只需求出左式的最小值即可．构造函数，利用导函数求出函数的最小值．

解答 解：不等式可整理为
$\frac{x+xlnx}{3x-e}$≥k恒成立，
令f（x）=$\frac{x+xlnx}{3x-e}$，
f'（x）=$\frac{3x-2e-elnx}{（3x-e）^{2}}$，令h（x）=3x-2e-elnx，
∴h'（x）=3-$\frac{e}{x}$＞0，则h（x）为增函数，
令h（x）=0得3x-2e-elnx=0，
∴x=e，
当x∈（1，e），f'（x）＜0，f（x）递减，
当x∈（e，+∞），f'（x）＞0，f（x）递增，
∴f（x）≥f（e）=1，
∴k≤1，
故选A．

点评 考查了恒成立问题的转化，构造函数，利用导函数判断函数的单调性．