Question

6．已知幂函数f（x）=x${\;}^{{m}^{2}-2m-3}$（m∈N^*）的图象不与x轴、y轴相交，且关于原点对称，则m=2．

Answer 1

分析 由已知中幂函数f（x）=x${\;}^{{m}^{2}-2m-3}$（m∈N^*）的图象不与x轴、y轴相交，可得m²-2m-3≤0，结合m∈N^*及函数f（x）的图象关于原点对称，可得答案．

解答 解：∵幂函数f（x）=x${\;}^{{m}^{2}-2m-3}$（m∈N^*）的图象不与x轴、y轴相交，
则m²-2m-3≤0，
解得：m∈[-1，3]，
又由m∈N^*
∴m∈{1，2，3}，
当m=1时，f（x）=x^-4，函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，
当m=2时，f（x）=x^-3，函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，
当m=3时，f（x）=x⁰，函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，
故m=2，
故答案为：2

点评 本题考查的知识点是幂函数的图象和性质，熟练掌握幂函数的图象和性质，是解答的关键．