Question

15．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2a-x-\frac{4}{x}-3，x∈（-∞，a）}\\{x-\frac{4}{x}-3，x∈[a，+∞）}\end{array}\right.$有且只有3个不同的零点x₁，x₂，x₃（x₁＜x₂＜x₃），且2x₂=x₁+x₃，则a=-$\frac{11}{6}$．

Answer 1

分析 解出f（x）在[a，+∞）上的零点，对f（x）在各段上零点个数进行讨论，得出a的值．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2a-x-\frac{4}{x}-3，x∈（-∞，a）}\\{x-\frac{4}{x}-3，x∈[a，+∞）}\end{array}\right.$，
令x-$\frac{4}{x}$-3=0，解得x=-1或x=4．
（1）若a≤-1，则x₂=-1，x₃=4，
∵2x₂=x₁+x₃，∴x₁=-6，
∴x₁=-6是方程-x-$\frac{4}{x}$+2a-3=0的解，
∴6+$\frac{2}{3}$+2a-3=0，解得a=-$\frac{11}{6}$．
（2）若-1＜a≤4，则x₃=4，∴x₂=$\frac{{x}_{1}+4}{2}$，且x₁，x₂为方程-x-$\frac{4}{x}$+2a-3=0的解，
即x₁，x₂为x²+（3-2a）x+4=0，
∴x₁+x₂=2a-3，x₁x₂=4，
解得x₁=-2-2$\sqrt{3}$，x₂=1-$\sqrt{3}$或x₁=-2+2$\sqrt{3}$，x₂=1+$\sqrt{3}$．
若x₁=-2-2$\sqrt{3}$，x₂=1-$\sqrt{3}$，则a=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+3}{2}$=$\frac{-1-3\sqrt{3}}{2}$，与a＞-1矛盾，
若x₁=-2+2$\sqrt{3}$，x₂=1+$\sqrt{3}$，则a=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+3}{2}$=$\frac{-1+3\sqrt{3}}{2}$，与x₂＜a矛盾．
（3）若a＞4，则f（x）在[a，+∞）上无零点，而f（x）=0在（-∞，a）上最多只有两解，与f（x）有三个零点矛盾．
综上，a=-$\frac{11}{6}$．
故答案为：-$\frac{11}{6}$

点评 本题考查了分段函数的零点计算，一元二次方程的解法，分类讨论思想，属于中档题