Question

4．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$+$\frac{a{x}^{2}}{2}$+2bx+c在区间（0，1）内取极大值，在区间（1，2）内取极小值，则z=（a+3）²+b²的取值范围为（$\frac{4}{5}$，9）．

Answer 1

分析 由题意可得x₁，x₂是导函数f′（x）=x²+ax+b的两根，由于导函数f′（x）=x²+ax+b的图象开口朝上且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2）即$\left\{\begin{array}{l}{f′（0）=b＞0}\\{f′（1）=1+a+b＜0}\\{f′（2）=4+2a+b＞0}\end{array}\right.$，画出满足以上条件的实数对（a，b）所构成的区域，z=（a+3）²+b²的表示点（a，b）到点（-3，0）的距离平方，即可求解

解答 解：设f（x）的极大值点是x₁，极小值点是x₂，
∵函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$ax²+bx+c在x=x₁处取得极大值，在x=x₂处取得极小值，
∴x₁，x₂是导函数f′（x）=x²+ax+b的两根，
由于导函数f′（x）=x²+ax+b的图象开口朝上且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（0）=b＞0}\\{f′（1）=1+a+b＜0}\\{f′（2）=4+2a+b＞0}\end{array}\right.$，
则满足以上条件的实数对（a，b）所构成的区域如图所示：
由$\left\{\begin{array}{l}{1+a+b=0}\\{4+2a+b=0}\end{array}\right.$，得A（-3，2），
z=（a+3）²+b²的表示点（a，b）到点（-3，0）的距离平方，
又因为PA²=（-3--3）²+（2-0）²=4，PB²=9，
P到直线4+2a+b=0的距离等于$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
则z=（a+3）²+b²的取值范围为（$\frac{4}{5}，9$），
故答案为：（$\frac{4}{5}$，9）．

点评 本题考查了函数的极值、根的分布及规划问题，属于中档题．