Question

3．某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组[40，50），[50，60）…[90，100]后，画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（Ⅰ） 求成绩落在[70，80）上的频率，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ） 估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；
（Ⅲ） 设学生甲、乙的成绩属于区间[40，50），现从成绩属于该区间的学生中任选两人，求甲、乙中至少有一人被选的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布直方图先求出成绩落在[70，80）上的频率，由此能补全这个频率分布直方图．
（Ⅱ）利用频率分布直方图能估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．
（Ⅲ）设学生甲、乙的成绩属于区间[40，50），区间[40，50）内有6名学生，现从成绩属于该区间的学生中任选两人，基本事件总数n=${C}_{6}^{2}$=15，甲、乙中至少有一人被选的对立事件是甲、乙两人没被选，由此利用对立事件概率计算公式能求出甲、乙中至少有一人被选的概率．

解答 解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：
成绩落在[70，80）上的频率是：1-（0.01+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=0.3，
补全这个频率分布直方图，如图．---（3分）
（Ⅱ） 估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）
为1-0.01×10-0.015×10=75%
平均分：45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．---（7分）
（Ⅲ）设学生甲、乙的成绩属于区间[40，50），
区间[40，50）内有：60×0.01×10=6名学生，
现从成绩属于该区间的学生中任选两人，
基本事件总数n=${C}_{6}^{2}$=15，
甲、乙中至少有一人被选的对立事件是甲、乙两人没被选，
∴甲、乙中至少有一人被选的概率p=1-$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$1-\frac{6}{15}=\frac{3}{5}$．---（12分）

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查频率分布直方图、概率等知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．