Question

在极坐标系中，已知圆C的圆心C(2

2

，

π

4

)，半径r=2

2

．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）若α∈[0，

π

4

]，直线l的参数方程为

x=3+tcosα y=1+tsinα

（t为参数），直线l交圆C于A、B 两点，求弦长|AB|的取值范围．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（I）先得出圆的直角坐标方程，再利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

化为极坐标方程．
（Ⅱ）将

x=3+tcosα y=1+tsinα

，代入C的直角坐标方程可得t²+2（cosα-sinα）t-6=0，则△＞0，设A，B对应参数分别为t₁，t₂，利用根与系数的关系可得|AB|=|t1-t2|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

40-4sin2α

，即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由C(2

2

，

π

4

)得，C直角坐标（2，2），
∴圆C的直角坐标方程为（x-2）²+（y-2）²=8，
由

x=ρcosθ y=ρsinθ

得，圆C的直角坐标方程为ρ=4cosθ+4sinθ．
（Ⅱ）将

x=3+tcosα y=1+tsinα

，代入C的直角坐标方程（x-2）²+（y-2）²=8，
得t²+2（cosα-sinα）t-6=0，则△＞0，
设A，B对应参数分别为t₁，t₂，则t₁+t₂=-2（cosα-sinα），t₁t₂=-6，
∴|AB|=|t1-t2|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

40-4sin2α

，
∵α∈[0，

π

4

]，∴sin2α∈[0，1]
∴|AB|的取值范围为[6，2

10

]．

点评：本题考查了圆的直角坐标方程化为极坐标方程、直线的参数方程的应用、弦长公式，考查了计算能力，属于基础题．