Question

已知数列{a_n}满足a₁=

2

3

，且a_n+1•（a_n+1）=2a_n
（1）求证：{

1

an

-1}是对比数列；
（2）令b_n=

1

an

+2（n-1），求{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意将递推公式变形：

2

an+1

=

1

an

+1，可得2(

1

an+1

-1)=

1

an

-1，由等比数列的定义即可证明；
（2）由等比数列的通项公式求出

1

an

-1，代入b_n=

1

an

+2（n-1）求出b_n，由分组求和法和等差、等比数列的前n项和公式求出S_n．

解答： 证明：（1）由题意知：a_n+1•（a_n+1）=2a_n，a₁=

2

3

，
所以a_n＞0，且a_n+1•a_n+a_n+1=2a_n，
则

2

an+1

=

1

an

+1，即2(

1

an+1

-1)=

1

an

-1，
又

1

a1

-1=

1

2

≠0，所以

1 an+1 -1

1 an -1

=

1

2

，
则数列{

1

an

-1}是以

1

2

为首项、公比的等比数列；
解：（2）由（1）可得，

1

an

-1=

1

2

•(

1

2

)n-1=

1

2n

，
则

1

an

=

1

2n

+1，所以b_n=

1

an

+2（n-1）=

1

2n

+1+2n-2=

1

2n

+2n-1，
所以{b_n}的前n项和S_n=（

1

2

+1）+（

1

22

+3）+（

1

23

+5）+…+（

1

2n

+2n-1）
=（

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

）+（1+3+5+…+2n-1）
=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

+

n(1+2n-1)

2

=1-

1

2n

+n2．

点评：本题考查等比数列的证明方法：定义法，等差、等比数列的前n项和公式，及数列的求和方法：分组求和法，注意等比数列的限制条件，属于中档题．