Question

12．过点M（-1，$\frac{1}{2}$）的直线l与椭圆x²+2y²=2交于A，B两点，设线段AB的中点为M，设直线l的斜率为k₁（k₁≠0），直线OM的斜率为k₂，则k₁k₂的值为（　　）

• A． 2
• B． -2
• C． $\frac{1}{2}$
• D． -$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入椭圆方程，由点差法得k₁=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{x}{2y}$，又k₂=$\frac{y}{x}$，由此能求出k₁k₂的值．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），
∵M是线段AB的中点，∴x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入椭圆x²+2y²=2，
得$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}=2}\\{{{x}_{2}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}=2}\end{array}\right.$，
两式相减，得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴2x（x₁-x₂）+4y（y₁-y₂）=0，
∴k₁=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{x}{2y}$，
又k₂=$\frac{y}{x}$，
∴k₁k₂=-$\frac{x}{2y}$•$\frac{y}{x}$=-$\frac{1}{2}$．
故选D．

点评 本题考查椭圆方程的运用，直线的斜率的公式的运用，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．