Question

12．若函数h（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）图象的对称中心为M（x₀，h（x₀）），记函数h（x）的导函数为g（x），则有g′（x₀）=0，设函数f（x）=x³-3x²+2，则f（$\frac{1}{2017}$）+f（$\frac{2}{2017}$）+…+f（$\frac{4032}{2017}$）+f（$\frac{4033}{2017}$）=0．

Answer 1

分析 求出f（x）的对称点，利用f（x）的对称性得出答案．

解答 解：f′（x）=3x²-6x，f″（x）=6x-6，
令f″（x）=0得x=1，
∴f（x）的对称中心为（1，0），
∵$\frac{1}{2017}+\frac{4033}{2017}$=$\frac{2}{2017}+\frac{4032}{2017}$=…=$\frac{2016}{2017}+\frac{2018}{2017}$=2，
∴f（$\frac{1}{2017}$）+f（$\frac{4033}{2017}$）=f（$\frac{2}{2017}$）+f（$\frac{4032}{2017}$）=…=f（$\frac{2016}{2017}$）+f（$\frac{2018}{2017}$）=0，
又f（$\frac{2017}{2017}$）=f（1）=0
∴f（$\frac{1}{2017}$）+f（$\frac{2}{2017}$）+…+f（$\frac{4032}{2017}$）+f（$\frac{4033}{2017}$）=0．
故答案为：0．

点评 本题考查了函数的对称性判断与应用，属于中档题．