Question

1．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=$\frac{1}{4}$n²+$\frac{2}{3}$n+3，数列{log₃b_n}{n∈N^*}为等差数列，且b₁=3，b₃=27．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（II）令c_n=（-1）ⁿ•$\frac{n}{2}$+3ⁿ，求数列{c_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由S_n=$\frac{1}{4}{n}^{2}$+$\frac{2}{3}$n+3，可得a₁=S₁=$\frac{1}{4}+\frac{2}{3}$+3．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．可得a_n．设等差数列{log₃b_n}的公差为d，且b₁=3，b₃=27．可得2d=log₃27-log₃3，解得d．可得b_n．
（Ⅱ）c_n=（-1）ⁿ•$\frac{n}{2}$+3ⁿ，数列{c_n}的前2n项和T_2n=$（-\frac{1}{2}+\frac{2}{2}-\frac{3}{2}+…-\frac{2n-1}{2}+\frac{2n}{2}）$+（3+3²+…+3ⁿ），通过分组求和、利用求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由S_n=$\frac{1}{4}{n}^{2}$+$\frac{2}{3}$n+3，∴a₁=S₁=$\frac{1}{4}+\frac{2}{3}$+3=$\frac{47}{12}$．，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{4}$n²+$\frac{2}{3}$n+3-$\frac{1}{4}（n-1）^{2}$-$\frac{2}{3}$（n-1）-3=$\frac{n}{2}$+$\frac{5}{12}$，
又$\frac{1}{2}+\frac{5}{12}$=$\frac{11}{12}$≠$\frac{47}{12}$，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{47}{12}，n=1}\\{\frac{n}{2}+\frac{5}{12}，n≥2}\end{array}\right.$．
设等差数列{log₃b_n}的公差为d，且b₁=3，b₃=27．
∴2d=log₃27-log₃3=3-1，解得d=1．
∴log₃b_n=log₃3+（n-1）=n，
∴b_n=3ⁿ．
（Ⅱ）c_n=（-1）ⁿ•$\frac{n}{2}$+3ⁿ，
∴数列{c_n}的前2n项和T_2n=（-$\frac{1}{2}$+3）+$（\frac{2}{2}+{3}^{2}）$+$（-\frac{3}{2}+{3}^{3}）$+…+$（-\frac{2n-1}{2}+{3}^{2n-1}）$+$（\frac{2n}{2}+{3}^{2n}）$
=$（-\frac{1}{2}+\frac{2}{2}-\frac{3}{2}+…-\frac{2n-1}{2}+\frac{2n}{2}）$+（3+3²+…+3ⁿ）
=$[（-\frac{1}{2}+\frac{2}{2}+（-\frac{3}{2}+\frac{4}{2}）$+…+$（-\frac{2n-1}{2}+\frac{2n}{2}）]$+$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$
=$\frac{1}{2}×n$+$\frac{{3}^{n+1}}{2}$-$\frac{3}{2}$
=$\frac{1}{2}（n-3+{3}^{2n+1}）$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．