题目内容
A={x||x2-2x|≤x}，B={x||
|≤
}，C={x|ax2+x+b＜0}，若（A∪B）∪C=R，（A∪B）∩C=∅，求a、b．
| x |
| 1-x |
| x |
| 1-x |
考点：交、并、补集的混合运算
专题：集合
分析：求出A与B中不等式的解集确定出A与B，根据题意得到C为A与B并集的子集，求出C，即可确定出a与b的值．
解答：
解：A中不等式，当x2-2x=x（x-2）≥0，即x≥2或x≤0时，变形得：x2-2x≤x，
解得：0≤x≤3，
此时x的范围为2≤x≤3；
当x2-2x=x（x-2）＜0，即0＜x＜2时，变形得：-x2+2x≤x，
解得：x≤0或x≥1，
此时x的范围为1≤x＜2，
而当x=0时，不等式成立，
综上，A={0}∪[1，3]；
由B中的不等式，得到
≥0，解得：0≤x＜1，即B=[0，1），
∵（A∪B）∪C=R，（A∪B）∩C=∅，A∪B=[0，3]，C={x|ax2+x+b＜0}，
∴C=∁R（A∪B）=（-∞，0）∪（3，+∞），
∴
，
解得：
．
解得：0≤x≤3，
此时x的范围为2≤x≤3；
当x2-2x=x（x-2）＜0，即0＜x＜2时，变形得：-x2+2x≤x，
解得：x≤0或x≥1，
此时x的范围为1≤x＜2，
而当x=0时，不等式成立，
综上，A={0}∪[1，3]；
由B中的不等式，得到
| x |
| 1-x |
∵（A∪B）∪C=R，（A∪B）∩C=∅，A∪B=[0，3]，C={x|ax2+x+b＜0}，
∴C=∁R（A∪B）=（-∞，0）∪（3，+∞），
∴
|
解得：
|
点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
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