题目内容
已知正三棱锥S-ABC，SA=4，AB=6，SO⊥面ABC．（1）求高SO，斜高SD；
（2）求S-ABC表面积与体积；
（3）求侧棱SA与面ABC所成角的正切值；
（4）求二面角S-BC-A的正弦值．
考点：与二面角有关的立体几何综合题,棱柱、棱锥、棱台的体积
专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角
分析：（1）由题意，O为△ABC的中心求出AO，DO，即可求高SO，斜高SD；
（2）利用表面积与体积，即可求S-ABC表面积与体积；
（3）∠SAO为侧棱SA与面ABC所成角，即可求侧棱SA与面ABC所成角的正切值；
（4）∠SDA为二面角S-BC-A的平面角，即可求二面角S-BC-A的正弦值．
（2）利用表面积与体积，即可求S-ABC表面积与体积；
（3）∠SAO为侧棱SA与面ABC所成角，即可求侧棱SA与面ABC所成角的正切值；
（4）∠SDA为二面角S-BC-A的平面角，即可求二面角S-BC-A的正弦值．
解答：
解：（1）由题意，O为△ABC的中心，∵AB=6，
∴AO=2
，DO=
，
∵SA=4，∴SO=2，
∴SD=
；
（2）S-ABC表面积为
•62+3•
•6•
=9
+9
；
体积为
•
•62•2=6
；
（3）∠SAO为侧棱SA与面ABC所成角，正切值为
=
；
（4）∠SDA为二面角S-BC-A的平面角，正弦值为
=
=
．
∴AO=2
| 3 |
| 3 |
∵SA=4，∴SO=2，
∴SD=
| 7 |
（2）S-ABC表面积为
| ||
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 7 |
| 3 |
| 7 |
体积为
| 1 |
| 3 |
| ||
| 4 |
| 3 |
（3）∠SAO为侧棱SA与面ABC所成角，正切值为
| SO |
| AO |
| ||
| 3 |
（4）∠SDA为二面角S-BC-A的平面角，正弦值为
| SO |
| SD |
| 2 | ||
|
2
| ||
| 7 |
点评：本题考查三棱锥的表面积与体积的计算，考查线面角、面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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