Question

已知数列{a_n}中，a₁=4，a_n+1=

an2

2(an-1)

，b_n=

an-2

an

，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：由a_n+1=

an2

2(an-1)

，得到

an+1-2

an+1

=

an2 2(an-1) -2

an2 2(an-1)

=(

an-2

an

)2，结合b_n=

an-2

an

可得bn+1=bn2．再由已知a₁=4求出b₁，依次求出b₂，b₃，b₄，…，猜测归纳出数列{b_n}的通项公式，然后利用数学归纳法证明．

解答： 解：由a_n+1=

an2

2(an-1)

，得：

an+1-2

an+1

=

an2 2(an-1) -2

an2 2(an-1)

=(

an-2

an

)2，
∵b_n=

an-2

an

，
∴bn+1=bn2．
又a₁=4，
∴b1=

1

2

=

1

220

．
则b2=

1

22

=

1

221

．
b3=

1

24

=

1

222

．
…
由此猜测bn=

1

22n-1

．
下面用数学归纳法证明．
①当n=1时，b1=

1

2

=

1

220

成立，
②假设当n=k时结论成立，即bk=

1

22k-1

，
则当n=k+1时，bk+1=bk2=(

1

22k-1

)2=

1

22k

=

1

22k+1-1

，
结论成立．
①②所述，结论对于任意的n∈N^*都成立．
∴bn=

1

22n-1

．

点评：本题考查了数列递推式，训练了由数列的部分项猜测归纳数列的通项公式，考查了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题，是中档题．