Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且方程f（x）=x有两相等的实数根1．
（1）若f（0）=2，求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-2，2]的最小值（用a表示）；
（3）当a＞0时，若g（x）=f（x）+|x-a|+（2a-1）x，求g（x）在[1，2]上的最小值．

Answer 1

考点：二次函数的性质,二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用韦达定理得出方程组直接求出即可；（2）求出函数的对称轴，对a进行讨论从而综合得出结论；（3）通过讨论a的取值范围综合得出答案．

解答： 解：（1）若方程f（x）=x有两相等的实数根1
可得

1+1= 1-b a 1×1= c a

，
故

b=1-2a c=a

；
又f（0）=2故c=2∴a=2，b=-3∴f（x）=2x²-3x+2；
（2）∵f（x）=ax²+（1-2a）x+a，
∴对称轴为x=1-

1

2a

，
当a＜0时，二次函数的图象开口向下，
f（-2）=9a-2，f（2）=a+2，
f（-2）-f（2）=8a-4＜0，
∴f（x）_min=f（-2）=9a-2；
当a＞0时，1-

1

2a

＜2，
又∵二次函数的开口向上
故当1-

1

2a

＜-2时，
即0＜a＜

1

6

时，f（x）在[-2，2]为减函数
∴f（x）_min=f（-2）=9a-2，
当1-

1

2a

≥-2时，
即a≥

1

6

时，f（x）在[-2，2]为先减后增函数
∴f(x)min=f(1-

1

2a

)=1-

1

4a

，
综上所述∴f(x)min=

9a-2，a＜ 1 6 且a≠0 1- 1 4a ，a≥ 1 6

；
（3）g（x）=f（x）+|x-a|+（2a-1）x
=ax²+|x-a|+a
=

ax2+x，x≥a ax2-x+2a，x＜a

，
当a≤1时，g（x）=ax²+x在[1，2]为增函数，
故g（x）_minx=g（1）=a+1；
当a≥2时，g（x）=ax²-x+2a在[1，2]为增函数，
g（x）_minx=g（1）=3a-1；
当1＜a＜2时，g(x)=

ax2+x，2≥x≥a ax2-x+2a，1≤x＜a

当1≤x＜a时，g（x）=ax²+x在[1，a]为增函数，
故g（x）_minx=g（1）=a+1
当a＜x≤2时，g（x）=ax²-x+2a在[a，2]为增函数，
g(x)minx=g(a)=a3+a
又a³+a-（a+1）=a³-1＞0，
∴g（x）_minx=a+1
综上所述：g(x)minx=

a+1，0＜a≤2 3a-1，a＞2

．

点评：本题考察了二次函数的性质，求函数解析式问题，求函数的最值问题，渗透了分类讨论思想，本题有一定的难度．