Question

11．已知F为抛物线4y²=x的焦点，点A，B都是抛物线上的点且位于x轴的两侧，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=15（O为原点），则△ABO和△AFO的面积之和的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{8}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{65}}{2}$

Answer 1

分析 设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得m的值，根据三角形的面积公式，利用基本不等式的性质，即可求得△ABO和△AFO的面积之和的最小值．

解答 解：设直线AB的方程为：x=ty+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线AB与x轴的交点为M（m，0），
$\left\{\begin{array}{l}{4{y}^{2}=x}\\{x=ty+m}\end{array}\right.$，可得4y²-ty-m=0，
根据韦达定理有y₁•y₂=-$\frac{m}{4}$，
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=15
∴x₁•x₂+y₁•y₂=16，从而16（y₁•y₂）²+y₁•y₂-15=0，
∵点A，B位于x轴的两侧，
∴y₁•y₂=-1，故m=4．
不妨令点A在x轴上方，则y₁＞0，
又F（$\frac{1}{16}$，0），
∴S_△ABO+S_△AFO=$\frac{1}{2}$×4×（y₁-y₂）+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{16}$y₁=$\frac{65}{32}$y₁+$\frac{2}{{y}_{1}}$≥2$\sqrt{\frac{65{y}_{1}}{32}×\frac{2}{{y}_{1}}}$=$\frac{\sqrt{65}}{2}$，
当且仅当$\frac{65}{32}$y₁=$\frac{2}{{y}_{1}}$，即y₁=$\frac{8\sqrt{65}}{65}$时，取“=”号，
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是$\frac{\sqrt{65}}{2}$，
故选D．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．