Question

已知等式（x²+2x+2）5=a₁+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₉（x+1）⁹+a₁₀（x+1）¹⁰，其中
a_i（i=0，1，2，…，10）为实常数．求：
（1）

10

n=1

a_n的值；
（2）

10

n=1

na_n的值．

Answer 1

考点：二项式定理的应用,简单复合函数的导数,二项式系数的性质

专题：计算题,压轴题,二项式定理

分析：（1）通过x=-1求出a₁，然后通过x=0求出a₁+a₁+a₂+…+a₅+a₁₀，即可求解

10

n=1

a_n．
（2）利用二项式定理展开表达式，通过函数的导数且x=0推出所求表达式的值，

解答： 解：（1）在（x²+2x+2）⁵=a₁+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₉（x+1）⁹+a₁₀（x+1）¹⁰中，
令x=-1，得a₁=1．（2分）
令x=0，得a₁+a₁+a₂+…+a₉+a₁₀=2⁵=32．（4分）
所以

10

n=1

a_n=a₁+a₂+…+a₁₀=31．（5分）
（2）等式（x²+2x+2）⁵=a₁+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₉（x+1）⁹+a₁₀（x+1）¹⁰两边对x求导，
得5（x²+2x+2）⁴•（2x+2）=a₁+2a₂（x+1）+…+9a₉（x+1）⁹+10a₁₀（x+1）⁵．（7分）
在5（x²+2x+2）⁴•（2x+2）=a₁+2a₂（x+1）+…+9a₉（x+1）⁹+10a₁₀（x+1）⁵中，
令x=0，整理，得

10

n=1

na_n=a₁+2a₂+…+9a₅+10a₁₀=5•2⁵=160．（10分）

点评：本题考查二项式定理的应用，函数的导数以及赋值法的应用，考查分析问题解决问题的能力．